- 本文亦同步刊载於林泽民的部落格，原文标题为〈回溯推论法、贝氏定理、及推理小说〉
编按：回溯推理（或称溯因推理）是从「证据推理到最佳解释」的反覆过程。福尔摩斯的名言：「当你把一切不可能的情况都排除之後，那剩下的，不管多麽离奇，也必然是事实。」正点出了「回溯推理」的精随，以及背後涉及的「贝氏定理」。
本文分为上下篇，上篇将带领读者熟悉回溯推理的基本概念，下篇则会运用贝氏定理分析，一窥侦探脑内的判断机制。
「你要知道，我亲爱的华生，」他把试管放回架子上去，开始用教授对他班上的学生讲课的口气往下说，「作出一串推理来，并且使每个推理取决於它前面的那个推理而本身又简单明了，实际上这并不难。然後，只要把中间的推理统统去掉，对你的听众仅仅宣布起点和结论，就可以得到惊人的、也可能是虚夸的效果。所以，我看了你左手的虎口，就觉得有把握说你没有打算把你那一小笔资本投到金矿中去，这真的不难推断出来。」
「我看不出有什麽关系。」
「似乎没有，但是我可以马上告诉你这一密切的关系。这一根非常简单的链条中缺少的环节是：第一，昨晚你从俱乐部回来，你左手虎口上有白粉；第二，只有在打台球的时候，为了稳定球杆，你才在虎口上抹白粉；第三，没有瑟斯顿作伴，你从不打台球；第四，你在四个星期以前告诉过我，瑟斯顿有购买某项南非产业的特权，再有一个月就到期了，他很想你跟他共同使用；第五，你的支票簿锁在我的抽屉里，你一直没跟我要过钥匙；第六，你不打算把钱投资在南非。」
「这太简单了！」我叫起来了。
——柯南．道尔《跳舞的人》
回溯推理的侦探：杜彭、福尔摩斯、马娄
所谓「回溯推论法」（abduction）是有别於演绎法（deduction）和归纳法（induction）的一种推理方法，但它常被与演绎法或归纳法混淆。
回溯推论法被提出为一种科学研究的推论方法，就我个人所知，最早见於美国哲学家 Charles Sanders Peirce （1839-1914）1878 年发表的科普文章〈Illustrations of the Logic of Science – Deduction, Induction, and Hypothesis〉。但在这篇文章里，Peirce 用了 hypothesis（假说）这个字来称呼回溯推论法。後来他改用 retroduction，而且一直到1896年都还用这个字。要在他 1903 年的文章，我才看到abduction这个字的出现。但不论使用哪个名词，他都把它与演绎法及归纳法并列，作为推论方法的一种形式。
其实就在Peirce还在挣扎着厘清他用不同字眼所指涉的回溯推论法的时候，这个方法的基本形式早就广泛地被推理小说中虚构的侦探有意识地用作办案的方法了。这包括埃德加．爱伦．坡（Edgar Allan Poe）笔下的杜彭（Dupin）和柯南．道尔（Conan Doyle）笔下的福尔摩斯（Holmes）。杜彭号称小说界第一位侦探，但他只出现在 1841-1844 出版的三篇短篇小说中。反观福尔摩斯，他一共出现在 4 篇长篇及 56 篇短篇里，其出版年份纵贯 1887-1927。当华生（Watson）已经很清楚地介绍福尔摩斯的探案方法的时候，Pierce 还没拿定用哪个字眼来称呼这个方法较恰当。
这就难怪华生把福尔摩斯的推理方法称为「演绎的科学」（the science of deduction）罗。
不仅小说家会把回溯推论法与其它推论方法混淆，即便学界大师也会搞错。因果论大师朱迪亚．珀尔（Judea Pearl）便把福尔摩斯的方法称为归纳法。他在《因果革命：人工智慧的大未来》（The Book of Why: The New Science of Cause and Effect）一书中写道：「但福尔摩斯真正厉害的，不是由假说演绎出结论，而是归纳。归纳法的运作方向和演绎法相反，是从证据产生假说。」
没错，回溯推论法简单说是「从证据产生假说」。但归纳法是要从统计资料产生通则，而回溯推论法则是要从不断更新的事实推出最可能的解释。这些解释不必是通则：它们可能只是无法观察到的事实。
科学家要建立通则；侦探对通则没有兴趣，他们有兴趣的是事实，特别是未能观察到的事实。
也是侦探小说作家的雷曼．钱德勒（Raymond Chandler）透过他笔下的侦探马娄（Marlowe）说：「有些事情是事实：在统计的意义上、写在纸上、录在带上、作为证据的事实。而有些事情之所以为事实是因为缺少了它其它的事情就无法解释了。」（《回播》）
当然马娄这话令人想到福尔摩斯的名言：
「当你把一切不可能的情况都排除之後，那剩下的，不管多麽离奇，也必然是事实。（When you have eliminated the impossible, whatever remains, however improbable, must be the truth.）」（《四签名》）
在《血字的研究》一书中，福尔摩斯进一步地对华生解释他的方法：
我已经对你说过，凡是异乎寻常的事物，一般都不是什麽阻碍，反而是一种线索。在解决这类问题时，最主要的事情就是能够用推理的方法，一层层地回溯推理。这是一种很有用的本领，而且也是很容易的，不过，人们在实践中却不常应用它。在日常生活中，向前推理的方法用处大些，因此人们也就往往容易忽略回溯推理这一层。如果说有五十个人能够从事务的各个方面加以综合推理的话，那麽，能够用分析的方法推理的，不过是个把人而已。
我也很难指望你能够弄得清楚。让我试试看我是否能够把它说得更明确一些。大多数人都是这样的：如果你把一系列的事实对他们说明以後，他们就能把可能的结果告诉你，他们能够把这一系列事实在他们的脑子里联系起来，通过思考，就能得出个什麽结果来了。但是，有少数的人，如果你把结果告诉了他们，他们就能通过他们内在的意识，推断出所以产生出这种结果的各个步骤是什麽。这就是在我说到『回溯推理』或者『分析的方法』时，我所指的那种能力。
侦探小说中，逆向推理首见於爱伦．坡的杜彭。《血字的研究》中福尔摩斯嘲笑杜彭「卖弄」（showy）、「肤浅」（superficial）、「不入流」（inferior），但也不得不承认杜彭分析问题的天才。我们读杜彭的故事，读到他在首次出现时，精准逆推叙述者思路的情节，可以想像道尔完全是在模仿爱伦．坡。如果那是卖弄，那福尔摩斯逆推华生思路的卖弄比起杜彭只有过之。
演绎法、归纳法、回溯推论法的差异
回溯推论法与演绎法、归纳法的区别可以用不同组合的三段论来阐释。
演绎法
- 前提 1：若 A 则 B
- 前提 2：A
- ———————
- 结论：B
归纳法
- 前提 1：A
- 前提 2：B
- ==========={p}
- 结论：若 A 则 B
回溯推论法
- 前提 1：若 A 则 B
- 前提 2：B
- ==========={p}
- 结论：A
这里「==={p}」代表结论不是绝对的, 而是只有机率0＜p＜1的「确定性」。
以逻辑学常用的例子 A=「天雨」、B=「地湿」来看。如果演绎法的两个前提（「若天雨，则地湿」及「天雨」）都成立，其结论（「地湿」）是百分之百（p=1）确定的，不必用「==={p}」的符号来表示。
我们即使在很多不同的时空里观察到「天雨」跟「地湿」的连结，但我们仍然不能藉由资料本身就确定「若天雨，则地湿」是一个放诸四海皆准的通则。归纳法出错的有名例子是「黑天鹅」事件。当 1967 年荷兰探险家 Willem de Vlamingh 在澳洲看到黑天鹅的时候，欧洲人才知道他们以有限的经验事实归纳出的「所有的天鹅都是白色的」的结论是错误的。
回溯推论法同样不能导出百分之百确定的结论，但上述回溯推论法的三段论与归纳法有明显的不同。光以三段论来看，回溯推论法与演绎法毋宁是比较接近的：它们都以通则「若 A 则 B」为前提，只是演绎法是由A来推论B，而回溯推论法是由B来推论A。从逻辑上来说，回溯推论法当然是不对的。我们都知道「若 A 则 B」只能引申出「若 ¬B 则 ¬A」（¬是逻辑中「非」的符号），亦即「以否定後项来否定前项」（modus tollens）而不能以肯定後项来肯定前项。
「地湿」无法推出「天雨」的结论，这是明显的道理：因为「地湿」有许多原因，「天雨」只是其中之一而已。既然如此，那回溯推论法究竟有没有逻辑上的价值？
回溯推论法的价值不是建立在单一的三段论上面，它仰仗的是当新事实出现时，这三段论的反覆应用。举例来说，假设有而且只有三个事实 A1、A2、A3 能产生B的结果，但它们各自也能分别产生B1、B2、B3的结果。如此则我们有三个通则：「若 A1 则 B1 及 B」、「若 A2 则 B2 及 B」、「若 A3 则 B3 及 B」。当我们只观察到 B 时，回溯推论法让我们得到 A1、A2、或 A3 的结论，但却无法告诉我们其中何者为真。
- 前提 1：若 A1 则 B1 及 B
- 前提 2：若 A2 则 B2 及 B
- 前提 3：若 A3 则 B3 及 B
- 前提 4：B
- ——————————
- 结论：无单一对应结果
但当我们观察到更多的事实时，我们也许就能得到较为确定的结论。例如我们在观察到 B 的同时也观察到 B1，则结论为 A1 的确定性将会提高。但即使我们未观察到B1，如果能观察到B2、B3的反证，则A2、A3可以被否定，A1的确定性将提高至 p=1。後者的推论方法可以示意如下：
- 前提 1：若 A1 则 B1 及 B
- 前提 2：若 A2 则 B2 及 B
- 前提 3：若 A3 则 B3 及 B
- 前提 4：B
- 前提 5：¬B2
- 前提 6：¬B3
- ——————————
- 结论：A1
在福尔摩斯的方法论中，他把 A1、A2、A3称作「理论」（theory），有时也称作「假说」（hypothesis）或「解释」（explanation），把B1、B2、B3称作「资料」（data）。
登门求助的客户诉说犯罪现场的状况後，福尔摩斯有了基本资料。如果基本资料足够，他会形成几个有待进一步验证的理论。但如基本资料不够，他通常不愿立刻提出理论，而宁可等待到现场蒐集进一步资料後再提出理论。此时理论可能仍有好几个，他会不断地努力追求新资料，例如拿放大镜匍匐在地上观察足迹、尘土、烟灰等等。这些动作虽然常被苏格兰场的警探嘲弄，他的目的就是要有更多的事实资料来让他增加或减少某些理论的确定性。到最後如果某理论达到 p=1，他就破案了。
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